Парадокс Монті Холла: формулювання і пояснення

Люди звикли вважати правильним те, що здається очевидним. Тому вони часто потрапляють в халепу, невірно оцінивши ситуацію, довірившись своїй інтуїції і не приділивши час для того, щоб критично осмислити свій вибір і його наслідки.

Що таке парадокс Монті Холла? Це наочна ілюстрація нездатності людини зважити свої шанси на успіх в умовах вибору сприятливого результату при наявності більш ніж одного несприятливого.

Формулювання парадоксу Монті Холла

Отже, що ж це за звір такий? Про що, власне, мова? Найвідомішим прикладом парадоксу Монті Холла виступає телешоу, популярний в Америці середини минулого століття під назвою «Давай укладемо парі!». До речі, саме завдяки провідному цієї вікторини згодом і отримав своє ім’я парадокс Монті Холла.

Гра полягала в наступному: учаснику показували три двері, з вигляду абсолютно однакові. Проте за однією з них гравця чекав новий дорогий автомобіль, а ось за двома іншими в нетерпінні тужило за козі. Як це зазвичай буває у разі телевікторин, що знаходилося за обраній конкурсантом дверима, то й ставало його виграшем.

У чому ж полягає хитрість?

Але не все так просто. Після того як вибір зроблено, ведучий, знаючи, де прихований головний приз, відкривав одну із двох дверей (звичайно, ту саму, за якої причаїлося парнокопитне), а потім питав гравця, чи не бажає той змінити своє рішення.

Парадокс Монті Холла, сформульований вченими в 1990 році, полягає в тому, що, всупереч інтуїції, подсказывающей, що немає ніякої різниці в прийнятті на підставі запитання ведучого рішення, потрібно погодитися змінити свій вибір. Якщо хочеться отримати відмінну машину, природно.

Загрузка...

Як це працює?

Причин, за якими людям не захочеться відмовлятися від свого вибору, кілька. Інтуїція і проста (але невірна) логіка кажуть, що від цього рішення нічого не залежить. Більш того, далеко не кожному захочеться йти на поводу у іншого — це ж справжнісінька маніпуляція, хіба не так? Ні, не так. Але якщо б все було відразу інтуїтивно зрозуміло, то і парадоксом це не стали б називати. Немає нічого дивного в тому, щоб сумніватися. Коли цю головоломку вперше опублікували в одному з великих журналів, тисячі читачів, в тому числі і визнані математики, надіслали до редакції листи, в яких стверджували, що надрукований в номері відповідь не відповідає дійсності. Якщо існування теорії ймовірностей не було новиною для людини, що потрапив на шоу, то, можливо, він би зміг розгадати цю задачу. І тим самим збільшити шанси на перемогу. Насправді пояснення парадоксу Монті Холла зводиться до нескладної математики.

Пояснення перше, поскладніше

Ймовірність того, що приз знаходиться за тими дверима, яка була обрана спочатку – один із трьох. Шанс виявити його за одного з двох, що залишилися, дорівнює двом з трьох. Логічно, чи не так? Тепер, після того, як одна з цих дверей відкритою, і за нею виявляється коза, у другому множині (те, яке відповідає 2/3 шансу на успіх) залишається тільки один варіант. Значення цього варіанта залишається колишнім, і воно дорівнює двом з трьох. Таким чином, стає очевидно, що, змінивши своє рішення, гравець збільшить ймовірність виграшу вдвічі.

Пояснення номер два, простіше

Після такого трактування рішення багато хто все одно наполягають на тому, що сенсу в цьому виборі немає, адже варіанта всього два і один з них точно виграшний, а інший однозначно веде до поразки.

Але у теорії ймовірностей на дану проблему свій погляд. І це стає ще ясніше, якщо уявити собі, що дверей спочатку не три, а, скажімо, сто. У такому випадку можливість вгадати, де знаходиться приз, з першого разу складає всього лише один до дев’яносто дев’яти. Тепер учасник робить свій вибір, а Монті виключає дев’яносто вісім дверей з козами, залишаючи лише дві, одну з яких вибрав гравець. Таким чином, варіант, обраний спочатку, зберігає шанси на виграш рівні 1/100, а друга запропонована можливість – 99/100. Вибір повинен бути очевидний.

Загрузка...

Існують чи спростування?

Відповідь проста: немає. Жодного достатньо обґрунтованого спростування парадоксу Монті Холла не існує. Всі «викриття», які можна знайти в Мережі, зводяться до нерозуміння принципів математики і логіки.

Для кожного, хто добре знайомий з математичними принципами, невипадковість ймовірностей абсолютно очевидна. Не погоджуватися з ними може тільки той, хто не розуміє, як влаштована логіка. Якщо все вищесказане досі звучить непереконливо – обґрунтування парадоксу було перевірено і підтверджено на відомої передачі «Руйнівники легенд», а кому ще повірити, як не їм?

Можливість наочно переконатися

Добре, нехай це звучить переконливо. Але ж це тільки теорія, можна подивитися на роботу цього принципу в дії, а не тільки на словах? По-перше, живих людей ніхто не відміняв. Знайдіть напарника, який візьме на себе роль ведучого і допоможе розіграти вищеописаний алгоритм в реальності. Для зручності можна взяти коробки, ящики або зовсім малювати на папері. Повторивши процес кілька десятків разів, порівняйте кількість виграшів у разі зміни початкового вибору з тим, скільки перемог принесло впертість, і все стане ясно. А можна поступити ще простіше і скористатися Інтернетом. У Мережі існує чимало симуляторів парадоксу Монті Холла, в них можна перевірити все самому і без зайвого реквізиту.

Який толк від цих знань?

Може здатися, що це просто чергова головоломка, покликана напружити мізки, і вона служить лише розважальним цілям. Однак своє практичне застосування парадокс Монті Холла знаходить в першу чергу в азартних іграх і різних тоталізаторах. Тим, хто має великий досвід, чудово відомі поширені стратегії збільшення шансів на виявлення валуйной ставки (від англійського слова value, що буквально означає «цінність» – такий прогноз, який збудеться з більшою ймовірністю, ніж це було оцінено букмекерами). І одна з таких стратегій безпосередньо задіює парадокс Монті Холла.

Приклад у роботі з тоталізатором

Спортивний приклад буде мало відрізнятися від класичного. Припустимо, є три команди з першого дивізіону. В три найближчі дні кожна з цих команд має зіграти по одному вирішального матчу. Та з них, що за підсумками матчу набере більше очок, ніж дві інші, залишиться в першому дивізіоні, інші ж будуть змушені його залишити. Пропозиція букмекера просте: потрібно поставити на збереження позицій одного з цих футбольних клубів, при цьому коефіцієнти ставок рівні.

Для зручності приймаються такі умови, при яких суперники беруть участь у виборі клубів приблизно рівні за силою. Таким чином, однозначно визначити фаворита до початку ігор не вийде.

Тут потрібно згадати історію про кіз і автомобіль. Кожна з команд має шанс залишитися на своєму місці в одному випадку з трьох. Вибирається будь-яка з них, на неї робиться ставка. Нехай це буде «Балтика». За результатами першого дня один з клубів програє, а двом зіграти ще тільки належить. Це та сама «Балтика» і, скажімо, «Шинник».

Більшість збереже свою первинну ставку – у першому дивізіоні залишиться «Балтика». Але слід пам’ятати, що її шанси залишилися колишніми, а от шанси «Шинника» подвоїлися. Тому логічно зробити ще одну ставку, більш велику, на перемогу «Шинника».

Настає наступний день, і матч за участю «Балтики» проходить внічию. Наступним грає «Шинник», і його гра закінчується перемогою з рахунком 3:0. Виходить, що саме він залишиться в першому дивізіоні. Тому, хоч перша ставка на «Балтику» і втрачається, але цю втрату перекриває прибуток на новій ставці на «Шинник».

Можна припустити, та більшість так і надійде, що виграш «Шинника» – лише випадковість. Насправді ж приймати ймовірність за випадковість – найбільша помилка для людини, що бере участь в спортивних тоталізаторах. Адже професіонал завжди скаже, що будь-яка ймовірність виражається насамперед у чітких математичних закономірностях. Якщо знати основи цього підходу і всі пов’язані з ним нюанси, то ризики втрати грошей зведуться до мінімуму.

Користь у прогнозуванні економічних процесів

Отже, ставки на спорт парадокс Монті Холла знати просто необхідно. Але одними тотализаторами область його застосування не обмежується. Теорія ймовірностей завжди тісно пов’язана зі статистикою, тому в політиці та економіці розуміння принципів парадоксу не менш важливо.

В умовах економічної невизначеності, з якою часто мають справу аналітики, потрібно пам’ятати наступний випливає з рішення задачі висновок: не обов’язково точно знати єдино вірне рішення. Шанси на вдалий прогноз завжди підвищуються, якщо знати, чого точно не відбудеться. Власне, це і є самий корисний висновок з парадоксу Монті Холла.

Коли світ стоїть на порозі економічних потрясінь, політики завжди намагаються вгадати потрібний варіант дій, щоб максимально знизити наслідки кризи. Повертаючись до попередніх прикладів, у сфері економіки задачу можна описати так: перед керівниками країн є три двері. Одна веде до гіперінфляції, друга до дефляції, а третя – до заповітного помірного зростання економіки. Але як знайти правильну відповідь?

Політики стверджують, що ті або інші їх дії призведуть до збільшення робочих місць і зростанню економіки. Але провідні економісти, досвідчені люди, серед яких навіть лауреати Нобелівської премії, наочно демонструють їм, що один з цих варіантів точно не приведе до бажаного результату. Чи стануть після цього політики змінювати свій вибір? Вкрай малоймовірно, так як в цьому відношенні вони мало чим відрізняються від тих же учасників телешоу. Тому ймовірність помилки тільки збільшиться при збільшенні числа порадників.

Вичерпується цим інформація по темі?

Насправді досі тут розглядалося лише «класичний» варіант парадоксу, тобто та ситуація, при якій ведучий точно знає, за який з дверей знаходиться приз, і відкриває тільки двері з козою. Але існують і інші механізми поведінки ведучого, в залежності від яких принцип роботи алгоритму і результат його виконання будуть відрізнятися.

Вплив поведінки ведучого на парадокс

Отже, що ж може зробити ведучий, щоб змінити хід подій? Припустимо різні варіанти.

Так званий «Диявольський Монті» – ситуація, у якій ведучий завжди запропонує гравцеві поміняти свій вибір за умови, що він був спочатку вірним. У цьому випадку зміна рішення завжди призведе до поразки.

Навпаки, «Ангельським Монті» називається схожий принцип поведінки, але у тому випадку, якщо вибір гравця був спочатку невірним. Логічно, що в такій ситуації зміна рішення призведе до перемоги.

Якщо ж ведучий відкриває двері навмання, не маючи уявлення про те, що приховано за кожною з них, то шанси виграти завжди будуть рівні п’ятдесяти відсоткам. При цьому за відкритою провідним дверима може виявитися і автомобіль.

Ведучий може 100 % відчинити двері з козою, якщо гравець вибрав автомобіль, і з 50 % вірогідністю в разі, якщо гравець вибрав козу. При такому алгоритмі дій, якщо гравець змінить вибір, то завжди буде у виграші в одному випадку з двох.

Коли гра повторюється знову і знову, а ймовірність того, що виявиться виграшною певна двері, завжди довільна (так само як і те, яку відкриє двері ведучий, при цьому йому відомо, де переховується автомобіль, і він завжди відкриває двері з козою та пропонує змінити вибір) – шанс перемогти завжди буде дорівнює одному з трьох. Це називається рівновагою Неша.

Так само як і в такому ж випадку, але за умови, що ведучий не зобов’язаний відкривати одну з дверей зовсім — ймовірність перемоги буде все так само дорівнює 1/3.

У той час як класична схема перевіряється досить легко, експерименти з іншими можливими алгоритмами поведінки ведучого зробити на практиці набагато складніше. Але при належній скрупульозності експериментатора можливо і таке.

І все ж, до чого все це?

Розуміння механізмів дій будь-яких логічних парадоксів дуже корисно для людини, його мозку і усвідомлення того, як насправді може бути влаштований світ, наскільки його пристрій може відрізнятися від звичного уявлення індивіда про нього.

Чим більше людина знає про те, як працює те, що оточує його в повсякденному житті і про що він зовсім не звик замислюватися, тим краще працює його свідомість, і тим ефективніше він може бути у своїх вчинках і прагненнях.

Загрузка...