Теорія ймовірностей працює з випадковими величинами. Для випадкових величин існують так звані закони розподілу. Такий закон свою випадкову величину описує з абсолютною повнотою. Однак при роботі з реальними сукупностями випадкових величин відразу встановити закон їх розподілу часто дуже важко і обмежуються деяким набором числових характеристик. Наприклад, обчислити математичне сподівання і дисперсію випадкової величини часто буває дуже корисно.
Навіщо це потрібно
Якщо суть математичного очікування за змістом близька до середнього значення величини, то в такому випадку дисперсія говорить, як розкидані значення нашої величини навколо математичного сподівання. Наприклад, якщо ми вимірювали IQ у групи людей і хочемо дослідити результати вимірювань (вибірку), математичне сподівання покаже зразкове середнє значення коефіцієнта інтелекту у даної групи людей, а якщо обчислити дисперсію вибірки, ми дізнаємося, як результати групуються близько математичного очікування: купкою поблизу нього (маленький розкид IQ) або більш рівномірно на всій ділянці від мінімального до максимального результату (великий розкид, і десь в середині – мат. очікування).
Щоб обчислити дисперсію, необхідна нова характеристика випадкової величини – відхилення значення від математичного очікування.
Відхилення
Щоб зрозуміти, як обчислити дисперсію, треба спочатку розібратися з відхиленням. Його визначення – різниця між значенням, яке приймає випадкова величина та її математичним очікуванням. Грубо кажучи, для того щоб зрозуміти, як величина “розкидається”, потрібно подивитися, яким чином розподіляється її відхилення. Тобто, ми замінюємо значення величини значенням її відхилення від мат. очікування і досліджуємо вже його закон розподілу.
Закон розподілу дискретної, тобто приймає окремі значення випадкової величини записується у вигляді таблиці, де значення величини співвіднесено з ймовірністю її появи. Тоді у законі розподілу відхилення випадкова величина заміниться на його формулу, в якій є величина (зберегла свою ймовірність) та її ж мат. очікування.
Властивості закону розподілу відхилення випадкової величини
У нас записаний закон розподілу відхилення випадкової величини. З нього ми можемо витягти поки тільки таку характеристику, як математичне очікування. Для зручності краще взяти чисельний приклад.
Нехай є закон розподілу якої-небудь випадкової величини: X – значення, p – ймовірність.
Розраховуємо математичне очікування за формулою і відразу ж відхилення.
Малюємо нову таблицю розподілу відхилення.
Розраховуємо математичне сподівання і тут.
Виходить нуль. Приклад лише один, але так буде завжди: це неважко довести в загальному випадку. Формулу математичного очікування відхилення можна розкласти на різницю математичних очікувань випадкової величини і, як би криво це звучало, математичного очікування мат. очікування (рекурсія, однак), що є одне і те ж, отже, їх різниця дорівнює нулю.
Це очікувано: адже відхилення по знаку бувають як позитивними, так і негативними, отже, в середньому повинні давати нуль.
Як обчислити дисперсію дискретної случ. величини
Якщо мат. очікування відхилення вираховувати безглуздо, треба шукати щось інше. Можна просто взяти абсолютні значення відхилень (по модулю); але з модулями все не так просто, тому відхилення підносять до квадрату, а потім вважають їх математичне очікування. Власне, це і мається на увазі, коли говорять про те, як обчислити дисперсію.
Тобто, ми беремо відхилення, зводимо їх у квадрат і складаємо таблицю з квадратів відхилень ймовірностей, які відповідають випадковим величинам. Це новий закон розподілу. Щоб порахувати математичне очікування, необхідно скласти твори квадрата відхилення і ймовірності.
Простіша формула
Однак почалася стаття з того, що закон розподілу початкової випадкової величини найчастіше буває невідомий. Тому потрібно щось легше. Дійсно, існує інша формула дозволяє обчислити дисперсію вибірки з допомогою тільки мат. очікування:
Дисперсія – різниця між мат. очікуванням квадрата випадкової величини і, навпаки, квадратом її мат. очікування.
Доказ цьому існує, однак приводити його тут не має сенсу, так як воно не має практичної цінності (а нам треба лише порахувати дисперсію).
Як обчислити дисперсію випадкової величини у варіаційних рядах
В реальній статистиці неможливо відобразити всі випадкові величини (бо їх, грубо кажучи, як правило, нескінченно багато). Тому те, що потрапляє в дослідження – так звана репрезентативна вибірка з якоїсь загальної сукупності. І, оскільки чисельні характеристики будь-якої випадкової величини з такої сукупності розраховуються за вибіркою, вони називаються вибірковими: вибіркове середнє, відповідно, вибіркова дисперсія. Обчислити її можна точно так само, як і звичайну (через квадрати відхилень).
Однак таку дисперсію називають зміщеною. Формула незміщеної дисперсії виглядає трохи по-іншому. Порахувати зазвичай потрібно саме її.
Невелике доповнення
З дисперсією пов’язана ще одна чисельна характеристика. Вона також слугує для оцінки того, як розсіюється випадкова величина навколо свого мат. очікування. В способах, як обчислити дисперсію і середнє квадратичне відхилення немає великої різниці: останнє – це квадратний корінь з першого.
