Теорема Котельникова: формулювання, історія і особливості

В кінці дев’ятнадцятого початку двадцятого століття бурхливо розвивалися засоби телефонного та радіозв’язку. У 1882 р. в Санкт Петербурзі запрацювала перша в Росії телефонна станція. У цій станції було 259 абонентів. А в Москві приблизно в цей же час було 200 абонентів.

У 1896 р. Олександр Попов передав на відстань 250 метрів перший сигнал по радіо, що складався всього з двох слів: «Генріх Герц».

Розвиток засобів зв’язку було на чолі технічного прогресу. З тих пір пройшло трохи більше століття, і завдяки роботам вчених та інженерів цій галузі ми бачимо, як змінився світ.

Ми не уявляємо нашого життя без телефону, радіозв’язку, телебачення та інтернету. В основі цього лежить поширення електромагнітних хвиль, яких розробив теорію Джеймс Клерк Максвелл в середині дев’ятнадцятого століття. Електромагнітні хвилі є носієм корисних сигналів, а в теорії передачі сигналів основне значення відіграє теорема російського вченого та інженера, академіка Володимира Олександровича Котельникова.

В науку вона увійшла під назвою теореми Котельникова.

Володимир Олександрович Котельников

Майбутній академік народився в 1908 р. в родині викладачів казанського університету. Навчався в МВТУ їм. Баумана, відвідував цікавлять його лекції в МГУ. У 1930 р. електротехнічний факультет, на якому навчався Котельников, перетворився в Московський енергетичний інститут, його Котельников і закінчив. Після закінчення інституту він працював у різних вузах і лабораторіях. Під час війни завідував лабораторією закритого НДІ в Уфі, де займався питаннями захищених каналів зв’язку, кодування повідомлень.

Приблизно такі розробки згадуються у Солженіцина в його романі «В колі першому».

Близько сорока років він завідував кафедрою «Основи радіотехніки», і був деканом радіотехнічного факультету. Згодом став директором інституту радіотехніки й електроніки АН СРСР.

Всі студенти відповідних спеціальностей досі навчаються за підручником Котельникова «Теоретичні основи радіотехніки».

Котельников також займався проблемами радіоастрономії, радіофізичними дослідженнями океанів, космічними дослідженнями.

Свою останню роботу «Модельна квантова механіка», написану вже майже в 97 років, він не встиг опублікувати. Вона вийшла тільки в 2008 р.

Помер Ст. А. Котельников на 97-му році життя 11 лютого 2005 р. Він двічі герой соціалістичної праці, нагороджений багатьма урядовими нагородами. У його честь названа одна з малих планет.

Теорема Котельникова

Розвиток систем зв’язку ставило безліч теоретичних питань. Наприклад, сигнали якого діапазону частот можна передавати по каналах зв’язку, різної фізичної структури, з різною смугою пропускання, щоб при прийомі не втратити інформації.

У 1933 році Котельников довів свою теорему, яка інакше називається теорема відліків.

Формулювання теореми Котельникова:

Якщо аналоговий сигнал має фінітне (обмеженої по ширині) спектр, то він може бути відновлений однозначно і без втрат за своїм дискретним відлікам, узятим з частотою, строго більшою подвоєною верхньої частоти.

Описується ідеальний випадок, коли час тривалості сигналу нескінченно. Він не має переривань, але має обмежений спектр (за теоремою Котельникова). Проте математична модель, що описує сигнали з обмеженим спектром, на практиці добре застосовна і до реальних сигналів.

На підставі теореми Котельникова може бути реалізований спосіб дискретної передачі неперервних сигналів.

Фізичний сенс теореми

Теорему Котельникова простими словами можна пояснити наступним чином. Якщо треба передати якийсь сигнал, то не обов’язково передавати його цілком. Можна передавати його миттєві імпульси. Частота передачі цих імпульсів називається частотою дискретизації в теоремі Котельникова. Вона повинна бути в два рази більше верхньої частоти спектра сигналу. У цьому випадку на приймальному кінці сигнал відновлюється без спотворень.

Про дискретизації теорема Котельникова робить дуже важливі висновки. Для різного типу сигналів існують різні частоти дискретизації. Для мовленнєвого (телефонного) повідомлення при ширині каналу 3,4 кГц — 6,8 кГц, а для телевізійного сигналу — 16 мГц.

У теорії зв’язку існує декілька типів каналів зв’язку. На фізичному рівні — дротяні, акустичні, оптичні, інфрачервоні і радіоканали. І хоча теорема розроблено для ідеального каналу зв’язку, вона застосовна і для всіх інших типів каналів.

Багатоканальний електрозв’язок

Теорема Котельникова лежить в основі багатоканального електрозв’язку. При дискретизації та передачі імпульсів період між імпульсами набагато більше їх тривалості. Це означає, що в проміжках імпульсів одного сигналу (це називається шпаруватість) можна передавати імпульси іншого сигналу. Були реалізовані системи на 12, 15, 30, 120, 180, 1920 мовних каналів. Тобто по одній парі проводів можна передати одночасно близько 2000 телефонних розмов.

На підставі теореми Котельникова, простими словами можна сказати, виникли практично всі сучасні системи зв’язку.

Гаррі Найквіст

Як це іноді буває в науці, вчені, які займаються подібними проблемами, приходять майже одночасно до однакових висновків. Це цілком закономірно. Досі не вщухають суперечки, хто відкрив закон збереження — Ломоносов або Лавуазьє, хто винайшов лампу розжарювання — Яблочкин або Едісон, хто винайшов радіо — Попов або Марконі. Цей список можна продовжувати без кінця.

Так, американський фізик шведського походження Гаррі Найквіст в 1927 р. в журналі «Певні проблеми телеграфної передачі» опублікував свої дослідження з висновками як у Котельникова. Його теорему іноді називають теорема Котельникова-Найквіста.

Гаррі Найквіст народився в 1907 році, захистив дисертацію в Єльському університеті, працював в лабораторії Белла. Там займався проблемами теплового шуму в підсилювачах, брав участь у розробці першого фототелеграфа. Його праці стали основою для подальших розробок Клода Шеннона. Найквіст помер у 1976 р.

Клод Шеннон

Клода Шеннона іноді називають батьком інформаційного століття — настільки великий його внесок у теорію зв’язку та інформатики. Клод Шеннон народився у 1916 р. в США. Працював в лабораторії Белла і ряді американських університетів. Під час війни разом з Аланом Тюрінгом займався розшифровкою кодів німецьких підводних човнів.

У 1948 р. в статті «Математична теорія зв’язку» він запропонував термін біт як позначення мінімальної одиниці інформацію. Теорему, присвячену відновленню сигналу по його дискретним відлікам, він довів (незалежно від Котельникова) у 1949 році. Її іноді називають теорема Котельникова-Шеннона. Правда на Заході більше прийнято найменування теорема Найквіста-Шеннона.

Шеннон ввів поняття ентропії в теорію зв’язку. Займався вивченням кодів. Завдяки його роботам, криптографія стала повноцінною наукою.

Котельников і криптографія

Котельников теж займався проблемами кодів і криптографії. На жаль, у часи СРСР, все, що пов’язано з кодами, шифрами, було суворо засекречено. І відкритих публікацій багатьох робіт Котельникова бути не могло. Проте він працював над створенням закритих каналів зв’язку, коди яких супротивник не міг зламати.

18 червня 1941 року, практично перед самою війною, була написана стаття Котельникова «Основні положення автоматичного шифрування», опублікована в збірнику 2006 р. «Квантова криптографія та теорема Котельникова про одноразових ключів та звітах».

Завадостійкість

З допомогою роботи Котельникова була розроблена теорія потенційної завадостійкості, яка визначає, яку максимальну кількість перешкод може бути в каналі зв’язку, щоб інформація не була втрачена. Розглядається варіант ідеального приймача, який далекий від реального. Але шляхи покращення каналу зв’язку чітко визначені.

Космічні дослідження

Колектив під керівництвом Котельникова вніс великий внесок у системи космічного зв’язку, автоматики та телеметрії. Сергій Павлович Корольов залучав лабораторію Котельникова до вирішення проблем космічної галузі.

Були побудовані десятки контрольно-вимірювальних пунктів, пов’язані в єдиний контрольно-вимірювальний комплекс.

Була розроблена радіолокаційна апаратура для міжпланетних космічних станцій, здійснено картографування при непрозорій атмосфері планети Венери. З допомогою пристроїв, розроблених під керівництвом Котельникова, з космічних станцій «Венера» і «Магеллан» проводилася радіолокація областей планети по заздалегідь визначеним секторам. В результаті ми знаємо, що ховається на Венері за щільними хмарами. Також велися дослідження Марса, Юпітера, Меркурія.

Розробки Котельникова знайшли застосування в орбітальних станціях і сучасних радиотелескопах.

У 1998 р. В. А. Котельников був нагороджений премією фон Кармана. Це премія Міжнародної академії астронавтики, яка дається людям з творчим мисленням за значний внесок у космічні дослідження.

Пошук радіосигналів позаземних цивілізацій

Міжнародна програма з пошуку радіосигналів позаземних цивілізацій Seti з допомогою найбільших радіотелескопів була розпочата в 90-ті роки. Саме Котельников обґрунтував необхідність використання багатоканальних приймачів для цієї мети. Сучасні приймачі прослуховують одночасно мільйони радіоканалів, перекриваючи весь можливий діапазон.

Також під його керівництвом були виконані роботи, які визначають критерії розумного вузькосмугового сигналу в загальному шумі і перешкоди.

На жаль, поки ці пошуки не увінчалися успіхом. Але в масштабах історії вони ведуться зовсім недовго.

Теорема Котельникова відноситься до фундаментальних відкриттів у науці. Її сміливо можна поставити в один ряд з теорем Піфагора, Ейлера, Гаусса, Лоренца і т. д.

В кожній області, де необхідно передавати або приймати будь-які електромагнітні сигнали, ми свідомо чи несвідомо користуємося теореми Котельникова. Ми розмовляємо по телефону, дивимося телевізор, слухаємо радіо, користуємося інтернетом. Все це в своїй основі містить принцип дискретизації сигналів.