Як можна знайти площу трикутника

Трикутник — це одна з найпоширеніших геометричних фігур, з якою ми знайомимося вже в початковій школі. З питанням, як знайти площу трикутника, стикається кожен школяр на уроках геометрії. Так які ж особливості знаходження площі фігури можна виділити? У даній статті ми розглянемо основні формули, необхідні для виконання такого завдання, а також розберемо види трикутників.

Види трикутників

Знайти площу трикутника можна абсолютно різними способами, тому що в геометрії не виділяється один вид фігур, які містять три кута. До таких видів відносяться:

  • Гострокутний трикутник.
  • Тупокутний.
  • Рівносторонній (правильний).
  • Прямокутний трикутник.
  • Рівнобедрений.

Розглянемо докладніше кожен з існуючих типів трикутників.

Гострокутний трикутник

Така геометрична фігура вважається найбільш поширеною при рішенні геометричних задач. Коли виникає необхідність накресліть довільний трикутник, на допомогу приходить саме цей варіант.

У остроугольном трикутнику, як зрозуміло з назви, всі кути гострі і в сумі становлять 180°.

Тупокутний трикутник

Такий трикутник також дуже поширений, проте зустрічається дещо рідше гострокутного. Наприклад, при вирішенні трикутників (тобто відомо декілька його сторін і кутів і потрібно знайти залишилися елементи) іноді потрібно визначити, є кут тупим чи ні. Косинус тупого кута — це від’ємне число.

У тупоугольном трикутнику величина одного з кутів перевищує 90°, тому залишилися два кути можуть брати маленькі значення (наприклад, 15° або 3°).

Щоб знайти площу трикутника даного типу, необхідно знати деякі нюанси, про які ми поговоримо далі.

Правильний і рівнобедрений трикутник

Правильним гратки називається фігура, включаються в себе n кутів, у якій всі сторони і кути рівні. Таким і є правильний трикутник. Так як сума всіх кутів трикутника дорівнює 180°, то кожний з трьох кутів дорівнює 60°.

Правильний трикутник, завдяки його властивості, також називають рівносторонньою фігурою.

Варто також відзначити, що в правильний трикутник можна вписати тільки одну окружність і біля нього можна описати тільки одну окружність, причому їх центри розташовані в одній точці.

Крім рівностороннього типу, можна також виділити рівнобедрений трикутник, сильно від нього відрізняється. В такому трикутнику дві сторони і два кути рівні між собою, а третя сторона (до якої прилягають рівні кути) є підставою.

На малюнку зображений рівнобедрений трикутник DEF, кути D і F якого рівні, а DF є підставою.

Прямокутний трикутник

Прямокутний трикутник названий так тому, що один з його кутів прямий, тобто дорівнює 90°. Інші ж два кута в сумі складають 90°.

Найбільша сторона такого трикутника, що лежить проти кута в 90° є гіпотенузою, інші ж дві його сторони — це катети. Для даного типу трикутників застосовна теорема Піфагора:

Сума квадратів довжин катетів дорівнює квадрату довжини гіпотенузи.

На малюнку зображено прямокутний трикутник BAC з гіпотенузою AC і катетами AB і BC.

Щоб знайти площу трикутника з прямим кутом, потрібно знати числові значення його катетів.

Перейдемо до формул знаходження площі фігури.

Основні формули знаходження площі

В геометрії можна виділити дві формули, які підходять для знаходження площі більшості видів трикутників, а саме для гострокутного, тупоугольного, правильного і рівнобедреного трикутника. Розберемо кожну з них.

По стороні і висоті

Дана формула є універсальною для знаходження площі, розглянутої нами фігури. Для цього достатньо знати довжину сторони і довжину проведеної до неї висоти. Сама формула (половина добутку основи на висоту) виглядає наступним чином:

S = ½*A*H,

де A — сторона цього трикутника, а H — висота трикутника.

Наприклад, щоб знайти площу гострокутного трикутника ACB, потрібно помножити його сторону AB на висоту CD і розділити отримане значення на два.

Однак не завжди буває легко знайти площу трикутника таким способом. Наприклад, щоб скористатися цією формулою для тупоугольного трикутника, необхідно продовжити одну з його сторін і тільки після цього провести до неї висоту.

На практиці дана формула застосовується частіше за інших.

По двох сторонах і куту

Дана формула, як і попередня підходить для більшості трикутників і за своїм змістом є наслідком формули знаходження площі по стороні і висоті трикутника. Тобто розглянуту формулу можна легко вивести з попередньої. Її формулювання виглядає так:

S = ½*sinO*A*B,

де A і B — це сторони трикутника, а O — кут між сторонами A і B.

Нагадаємо, що синус кута можна подивитися в спеціальній таблиці, названої на честь видатного радянського математика В. М. Брадіса.

А тепер перейдемо до інших формулами, придатним тільки для виняткових видів трикутників.

Площа прямокутного трикутника

Крім універсальної формули, що включає в себе необхідність проводити висоту в трикутнику, площа трикутника, який містить прямий кут, можна знайти за його катетам.

Так, площа трикутника, який містить прямий кут, — це половина добутку його катетів, або:

S = ½*a*b,

де a і b — катети прямокутного трикутника.

Правильний трикутник

Даний вид геометричних фігур відрізняється тим, що його площу можна знайти при зазначеній величині лише однієї його сторони (так як всі сторони правильного трикутника рівні). Отже, зустрівшись із завданням «знайти площу трикутника, коли сторони рівні», потрібно скористатися наступною формулою:

S = A2*√3 / 4,

де A — це сторона рівностороннього трикутника.

Формула Герона

Останній варіант для знаходження площі трикутника — це формула Герона. Для того, щоб нею скористатися, необхідно знати довжини трьох сторін фігури. Формула Герона виглядає так:

S = √p·(p — a)·(p — b)·(p — c),

де a, b і c — це сторони даного трикутника.

Іноді у задачі дано: «площа правильного трикутника — знайти довжину його сторони». В даному випадку потрібно скористатися вже відомою нам формулою знаходження площі правильного трикутника і вивести з неї значення сторони (або її квадрата):

A2 = 4S / √3.

Екзаменаційні завдання

У завдання ДПА з математики зустрічаються безліч формул. Крім цього, досить часто необхідно знайти площу трикутника на картатій папері.

В даному випадку найзручніше провести висоту до однієї з сторін фігури, визначити по клітинам її довжину і скористатися універсальною формулою для знаходження площі:

S = ½*A*H.

Отже, після вивчення представлених у статті формул, у вас не виникнуть проблеми при знаходженні площі трикутника будь-якого виду.