Зародження математичних знань у стародавніх єгиптян пов’язано з розвитком господарських потреб. Без математичних навичок давньоєгипетські писарі не могли б забезпечувати проведення землемірних робіт, розраховувати кількість робочих і їх зміст або робити розкладку податкових відрахувань. Так що поява математики можна приурочити до епохи виникнення ранніх державних утворень на території Єгипту.
Єгипетські числові позначення
Десяткова система рахунка в Стародавньому Єгипті склалася на основі використання для підрахунку кількості предметів пальців на обох руках. Числа від одного до дев’яти позначалися відповідною кількістю рисок, для десятків, сотень, тисяч і так далі існували особливі ієрогліфічні знаки.
Найімовірніше, цифрові єгипетські символи виникли як результат співзвуччя того чи іншого числівника і назви якого-небудь предмета, адже в епоху становлення писемності знаки-піктограми мали суворо предметне значення. Так, наприклад, сотні позначалися ієрогліфом, що зображують мотузку, десятки тисяч – зображенням пальця.
В епоху Середнього царства (початок II тисячоліття до н. е..) з’являється більш спрощена, зручна для письма на папірусі ієратічеська форма писемності, відповідним чином змінюється і написання цифрових знаків. Знамениті математичні папіруси написані иератическим листом. Ієрогліфіка застосовувалася в основному для настінних написів.
Система давньоєгипетської нумерації не змінювалася протягом тисяч років. Позиційного способу запису чисел стародавні єгиптяни не знали, бо не підійшли ще до поняття нуля не тільки як самостійної величини, але і просто як відсутність кількості в певному розряді (цій початковій щаблі досягла математика у Вавилоні).
Дробу математики Стародавнього Єгипту
Єгиптяни мали поняття про дробах і вміли виробляти деякі операції з дробовими числами. Єгипетські дробу представляють собою числа виду 1/n (так звані аликвотные дробу), оскільки дріб представлялася єгиптянами як одна частина чого-небудь. Винятком є дробу 2/3 і 3/4. Невід’ємним елементом запису дробового числа був ієрогліф, зазвичай перекладається як «один з (певної кількості)». Для найбільш уживаних дробів існували особливі знаки.
Дріб, чисельник якої відмінний від одиниці, єгипетський писар розумів буквально, як кілька частин якого-небудь числа, і буквально ж записував. Наприклад, двічі поспіль 1/5, якщо потрібно зобразити число 2/5. Так що єгипетська система дробів була дуже громіздка.
Цікаво, що один із священних символів єгиптян – так зване «око Хору» – також має математичний сенс. Один з варіантів міфу про сутичці між божеством люті і руйнування Сетом і його племінником сонячним богом Хором свідчить, що Сет вибив Хору ліве око і розірвав або розтоптав його. Боги відновили очей, але не повністю. Око Хору уособлюють різні аспекти божественного порядку в світоустрій, такі як ідея родючості або влада фараона.
Зображення ока, яке вшановувалося як амулет, що містить елементи, що позначають особливий ряд чисел. Це дробу, кожна з яких удвічі менша за попередню: 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, 1/32 і 1/64. Символ божественного ока, таким чином, представляє їх суму – 63/64. Деякі історики-математики вважають, що в цьому символі відображено поняття єгиптян про геометричній прогресії. Складові частини зображення ока Хору використовувалися в практичних розрахунках, наприклад, при вимірюванні об’єму сипучих речовин, таких як зерно.
Принципи арифметичних дій
Метод, яким користувалися єгиптяни при виконанні найпростіших арифметичних операцій, полягав у підрахунку підсумкового кількості символів, що позначають розряди чисел. Одиниці складалися з одиницями, десятки з десятками і так далі, після чого проводилася остаточна запис результату. Якщо при підсумовуванні виходило більше десяти знаків у будь-якому розряді, зайвий десяток переходив у вищий розряд і записувався відповідним ієрогліфом. Віднімання проводилося таким же способом.
Без застосування таблиці множення, якої єгиптяни не знали, процес обчислення добутку двох чисел, особливо багатозначних, був надзвичайно громіздким. Як правило, єгиптяни користувалися методом послідовного подвоєння. Один із множників розкладався на суму чисел, які ми сьогодні назвали б ступенями двох. Для єгиптянина це означало кількість послідовних подвоєнь другого множника і підсумкове підсумовування результатів. Наприклад, множачи на 53 46, єгипетський писар розклав би на суму 46 32 + 8 + 4 + 2 і склав би табличку, яку ви можете бачити нижче.
| * 1 | 53 |
| * 2 | 106 |
| * 4 | 212 |
| * 8 | 424 |
| * 16 | 848 |
| * 32 | 1696 |
Підсумовуючи результати в зазначених рядках, він отримав би 2438 – стільки ж, скільки і ми сьогодні, але іншим способом. Цікаво, що такий двійковий метод множення застосовується в наш час в обчислювальній техніці.
Іноді, крім подвоєння, число могли множити на десять (оскільки використовувалася десяткова система) або на п’ять, як на половину десятки. Ось ще один приклад на множення з записом єгипетськими символами (косою рискою позначалися складні результати).
Операція ділення проводилася також за принципом подвоєння дільника. Шукане число при множенні на дільник повинно було дати вказана в умові завдання ділене.
Математичні знання і навички єгиптян
Відомо, що єгиптяни знали зведення в ступінь, а також застосовували зворотну операцію – витяг квадратного кореня. Крім того, вони мали уявлення про прогресії і вирішували задачі, що зводяться до рівнянь. Правда, рівняння як такі не складалися, так як ще не склалося розуміння того, що математичні відношення між величинами носять універсальний характер. Завдання групувалися за тематикою: розмежування земель, розподіл продуктів і так далі.
В умовах завдань присутня невідома величина, яку потрібно знайти. Вона позначається ієрогліфом «безліч», «купа» і є аналогом величини «ікс» у сучасній алгебрі. Умови часто викладаються у формі, яка, здавалося б, просто вимагає складання і рішення простого алгебраїчного рівняння, наприклад: «купа» складається з 1/4, також містить «купу», і виходить 15. Але єгиптянин не вирішував рівняння x + x/4 = 15, а підбирав шукану величину, яка задовольняла б умовам.
Значних успіхів математика Стародавнього Єгипту досягла в рішенні геометричних задач, пов’язаних з потребами будівництва і землемірних робіт. Про колі завдань, які стояли перед писарями, і про способи їх вирішення ми знаємо завдяки тому, що збереглося кілька писемних пам’яток на папірусі, містять приклади обчислень.
Давньоєгипетський задачник
Один з найбільш повних джерел з історії математики в Єгипті – так званий математичний папірус Рінда (по імені першого власника). Він зберігається в Британському музеї у вигляді двох частин. Невеликі фрагменти також є в музеї Нью-Йоркського історичного товариства. Його також називають папірусом Ахмеса – на ім’я писаря, переписавшего цей документ близько 1650 року до н. е.
Папірус являє собою збірник задач з рішеннями. Всього він містить понад 80 математичних прикладів з арифметики і геометрії. Наприклад, завдання на рівний розподіл між 10 працівниками 9 хлібів вирішувалася так: 7 хлібів діляться на 3 частини кожен, і працівникам видається за 2/3 хліба, при цьому у залишку маємо 1/3. Два хліба діляться на 5 частин кожен, видається з 1/5 на людину. Решту хліба ділять на 10 частин.
Є завдання і на нерівний розподіл 10 мір зерна між 10 людьми. В результаті утворюється арифметична прогресія з різницею 1/8 заходи.
Завдання на геометричну прогресію носить жартівливий характер: в 7 будинках живе за 7 кішок, кожна з яких з’їла за 7 мишей. Кожна миша з’їла 7 колосків, кожен колос приносить 7 заходів хліба. Потрібно обчислити загальну кількість будинків, котів, мишей, колосків і хлібних заходів. Воно становить 19607.
Геометричні задачі
Чималий інтерес представляють математичні приклади, що демонструють рівень знань єгиптян у галузі геометрії. Це знаходження об’єму куба, площі трапеції, обчислення нахилу піраміди. Нахил виражався не в градусах, а розраховувався як відношення половини підстави піраміди до її висоти. Ця величина, аналогічна сучасному котангенсу, називалася «секед». Основними одиницями довжини служили лікоть, становив 45 см («царський лікоть» – 52,5 см) і хет – 100 ліктів, основна одиниця площі – сешат, що дорівнює 100 квадратним ліктів (близько 0,28 Га).
Єгиптяни успішно справлялися з обчисленням площ трикутників, застосовуючи спосіб, аналогічний сучасному. Ось завдання з папірусу Ринда: чому дорівнює площа трикутника, що має висоту 10 хет (1000 ліктів) і підстава 4 хета? В якості рішення пропонується десять помножити на половину від чотирьох. Ми бачимо, що метод рішення абсолютно вірний, подається в конкретному числовому вигляді, а не у формалізованому – помножити висоту на половину підстави.
Вельми цікава задача на обчислення площі кола. Згідно з наведеним рішенням, вона дорівнює величині 8/9 діаметра, піднесеної до квадрату. Якщо тепер з отриманої площі обчислити число «пі» (як відношення збільшеної площі до квадрату діаметра), то воно становитиме близько 3,16, тобто досить близько до істинної величиною «пі». Таким чином, єгипетський спосіб вирішення площі кола був досить точним.
Московський папірус
Ще один важливий джерело наших знань про рівні математики у стародавніх єгиптян – Московський математичний папірус (він же папірус Голенищева), що зберігається в Музеї образотворчих мистецтв ім. А. С. Пушкіна. Це теж задачник з рішеннями. Він не такий великий, містить 25 завдань, але має більш давній вік – приблизно на 200 років старше папірусу Ринда. Більшість прикладів у папірусі – геометричні, в тому числі завдання на обчислення площі кошика (тобто криволінійної поверхні).
В одній з завдань наведено спосіб знаходження об’єму усіченої піраміди, абсолютно аналогічний сучасній формулі. Але оскільки всі рішення в єгипетських задачниках мають «рецептурний» характер і наводяться без проміжних логічних етапів, без жодного пояснення, залишається невідомим, яким чином єгиптяни знайшли цю формулу.
Астрономія, математика і календар
Давньоєгипетська математика пов’язана і з календарними обчисленнями, заснованими на повторюваності деяких астрономічних явищ. Насамперед, це передбачення щорічного підйому Нілу. Єгипетські жерці помітили, що початок розливу річки на широті Мемфіса зазвичай збігається із днем, коли на півдні перед сходом Сонця стає видно Сіріус (більшу частину року ця зірка на даній широті не спостерігається).
Спочатку найпростіший сільськогосподарський календар не був прив’язаний до астрономічних подій і ґрунтувався на простому спостереженні сезонних змін. Потім він отримав точну прив’язку до сходу Сиріуса, а разом з нею з’явилася можливість уточнення і подальшого ускладнення. Без математичних навичок жерці не могли б уточнювати календар (втім, остаточно усунути недоліки календаря єгиптянам так і не вдалося).
Не менш важливим було вміння вибрати сприятливі моменти для проведення тих чи інших релігійних свят, також приурочених до різних астрономічних феноменів. Так що розвиток математики й астрономії в Стародавньому Єгипті, безумовно, пов’язано з веденням календарних розрахунків.
Крім того, математичні знання потрібні для хронометрії при спостереженні зоряного неба. Відомо, що такими спостереженнями займалася особлива група жерців – «розпорядники годин».
Невід’ємна частина ранньої історії науки
При розгляді особливостей і рівня розвитку математики в Стародавньому Єгипті помітна істотна незрілість, так і не подолана за три тисячі років існування давньоєгипетської цивілізації. До нас не дійшли скільки-небудь інформативні джерела епохи становлення математики, і ми не знаємо, як воно відбувалося. Але ясно, що після деякого розвитку рівень знань і навичок застиг в «рецептурної», предметній формі без ознак прогресу на багато сотень років.
Мабуть, стійкий і одноманітний коло питань, розв’язуваних за допомогою вже сформованих методів, не створював «попиту» на нові ідеї, в математиці, яка і так справлялася з рішенням завдань будівництва, сільського господарства, оподаткування і розподілу, примітивної торгівлі та обслуговування календаря і ранньої астрономії. Крім того, архаїчне мислення не вимагає формування суворої логічної, доказової бази – воно слід рецептурою як ритуалу, і це також позначилося на застійному характері староєгипетської математики.
Разом з тим необхідно зауважити, що наукове знання взагалі і математики зокрема робили ще перші кроки, а вони завжди найважчі. У прикладах, які демонструють нам папіруси з завданнями, вже видно початкові ступені узагальнення знань – поки без спроб формалізації. Можна сказати, що математика Стародавнього Єгипту у тому вигляді, як ми її знаємо (через недостатність джерельної бази за пізнього періоду давньоєгипетської історії) – це ще не наука в сучасному розумінні, але саме початок шляху до неї.
