При вивченні властивостей квадратного рівняння ставилося обмеження – для дискримінанта менше нуля рішення не існує. Відразу обмовлялося, що мова йде про безліч дійсних чисел. Допитливий розум математика зацікавиться – який секрет міститься у застереженні про дійсних значеннях?
З часом математики ввели поняття комплексних чисел, де за одиницю приймається умовне значення кореня другого ступеня з мінус одиниці.
Історична довідка
Математична теорія розвивається послідовно, від простого до складного. Розберемося, як виникло поняття, яке отримало назву “комплексне число”, і навіщо воно потрібно.
З незапам’ятних часів основу математики становив звичайний рахунок. Дослідникам було відомо тільки натуральне безліч значень. Додавання і віднімання при цьому проводилося просто. По мірі ускладнення господарських відносин замість додавання однакових значень почали застосовувати множення. З’явилася зворотна операція до множення – ділення.
Поняття натурального числа обмежувало використання арифметичних операцій. На множині цілих значень неможливо вирішувати всі завдання поділу. Робота з дробами призвела спочатку до поняття раціональних значень, а потім і до ірраціональних значень. Якщо для раціонального можна вказати точне розташування точки на лінії, то для ірраціональних таку точку вказати неможливо. Можна лише приблизно вказати інтервал знаходження. Поєднання раціональних і ірраціональних числі утворили речовий безліч, яке можна представити як деяку лінію з заданим масштабом. Кожен крок по лінії – це натуральне число, а між ними розташовуються раціональні та ірраціональні значення.
Почалася епоха теоретичної математики. Розвиток астрономії, механіки, фізики вимагало вирішення все більш складних рівнянь. У загальному вигляді були знайдені корені квадратного рівняння. При вирішенні більш складного кубічного многочлена вчені зіткнулися з протиріччям. Поняття кубічного кореня з від’ємного має сенс, а для квадратного виходить невизначеність. При цьому квадратне рівняння – лише окремий випадок кубічного.
У 1545 році італієць Дж. Кардано запропонував ввести поняття уявного числа.
Таким числом став корінь другого ступеня з мінус одиниці. Остаточно термін комплексного числа сформувався тільки через триста років, у роботах відомого математика Гаусса. Він запропонував формально поширити на уявне число усі закони алгебри. Речова пряма розширилася до площини. Світ став більше.
Основні поняття
Згадаймо ряд функцій, які мають обмеження на матеріальному множині:
- y = arcsin(x), визначена в інтервалі значень між негативною і позитивною одиницею.
- y = ln(x), десятковий логарифм має сенс при позитивних аргументів.
- квадратний корінь y = √x, розраховується тільки для x ≥ 0.
Позначенням i = √(-1), введемо таке поняття, як уявне число, це дозволить зняти всі обмеження з області визначення вищенаведених функцій. Вирази типу y = arcsin(2), y = ln(-4), y = √(-5) набувають сенсу в деякому просторі комплексних чисел.
Алгебраїчну форму можна записати у вигляді виразу z = x + i×y на множині дійсних значень x і y, а i2 = -1.
Нове поняття знімає всі обмеження на використання будь-алгебраїчні функції і своїм виглядом нагадує графік прямої в координатах дійсних і уявних значень.
Комплексна площина
Геометрична форма комплексних чисел дозволяє наочно уявити багато їх властивості. По осі Re(z) відзначаємо речові значення x, Im(z) – уявні величини y, тоді точка z на площині буде відображати потрібне комплексне значення.
Визначення:
- Re(z) – реальна вісь.
- Im(z) – означає уявну вісь.
- z – умовна точка комплексного числа.
- Чисельне значення довжини вектора від нульової точки до z, називається модулем.
- Реальна і уявна осі розбивають площину на чверті. При позитивному значенні координат – I чверть. При аргументі реальної осі менше 0, а уявної більше 0 – II чверть. Коли координати негативні – III чверть. Остання, IV чверть містить безліч позитивних реальних значень і негативних уявних величин.
Таким чином на площині зі значеннями координат x і y завжди можна наочно зобразити точку комплексного числа. Символ i вводиться для відділення реальної частини від уявної.
Властивості
Тригонометрична запис
Згадаймо полярну систему координат та визначення тригонометричних функцій sin та cos. Очевидно, що за допомогою цих функцій можна описати розташування будь-якої точки на площині. Для цього достатньо знати довжину полярного променя і кут нахилу до речовій осі.
Визначення. Запис виду ∣z ∣, помножене на суму тригонометричних функцій cos(Θ) та уявної частини i ×sin(Θ), називається тригонометричним комплексним числом. Тут застосовується позначення кут нахилу до речовій осі
Θ = arg(z), а r = ∣z∣, довжина променя.
З визначення й властивості тригонометричних функцій, слід дуже важлива формула Муавра:
zn = rn × (cos(n × Θ) + i × sin(n × Θ)).
Використовуючи цю формулу, зручно розв’язувати багато систем рівнянь, що містять тригонометричні функції. Особливо коли виникає задача зведення в ступінь.
Модуль і фаза
Для завершення комплексного опису безлічі запропонуємо два важливих визначення.
Знаючи теорему Піфагора, легко обчислити довжину променя в полярній системі координат.
r = ∣z∣ = √(x2 + y2), така запис на комплексному просторі носить назву “модуль” і характеризує відстань від 0 до точки на площині.
Кут нахилу комплексного променя до дійсної прямої Θ прийнято називати фазою.
З визначення видно, що реальна та уявна частини описуються з допомогою циклічних функцій. А саме:
- x = r × cos(Θ);
- y = r × sin(Θ);
Назад, фаза має зв’язок з алгебраїчними значеннями через формулу:
Θ = arctan(x / y) + µ, поправка µ вводиться для обліку періодичності геометричних функцій.
Формула Ейлера
Математики часто вживають показову форму. Числа комплексній площині записують у вигляді виразу
z = r × e×Θ , яка випливає з формули Ейлера.
Така запис отримала широке поширення для практичного обчислення фізичних величин. Форма подання у вигляді показових комплексних чисел особливо зручна для інженерних розрахунків, де виникає необхідність розрахувати ланцюга з синусоїдальними струмами і необхідно знати значення інтегралів функцій з заданим періодом. Самі розрахунки служать інструментом при конструюванні різноманітних машин і механізмів.
Визначення операцій
Як вже зазначалося, на комплексні числа поширюються всі алгебраїчні закони роботи з основними математичними функціями.
Операція суми
При складанні комплексних значень їх реальна та уявна частини також складаються.
z = z1 + z2, де z1 і z2 – комплексні числа загального виду. Перетворюючи вираз, після розкриття дужок і спрощення запису, отримаємо реальний аргумент х=(x1 + x2), уявний аргумент y = (y1 + y2).
На графіку це виглядає як додавання двох векторів за відомим правилом паралелограма.
Операція віднімання
Розглядається як окремий випадок додавання, коли одне число позитивне, інше негативне, тобто знаходиться в дзеркальній чверті. Алгебраїчна запис виглядає як різниця реальних і уявних частин.
z = z1 – z2, або, враховуючи значення аргументів, аналогічно операції додавання, отримуємо для реальних значень х = (x1 – x2) і уявних y = (y1 – y2).
Множення на комплексній площині
Використовуючи правила роботи з многочленами, виведемо формулу для рішення комплексних чисел.
Слідуючи загальним алгебраїчним правилами z=z1×z2, розписуємо кожен аргумент і приводимо подібні. Реальну та уявну частини можна записати так:
- х = х1 × x2 – y1 × y2,
- y = x1 × y2 + x2 × y1.
Красивіше виглядає, якщо будемо використовувати показові комплексні числа.
Вираз виглядає так: z = z1 × z2 = r1 × eiΘ1 × r2 × eiΘ2 = r1 × r2 × ei(Θ1+Θ2).
Далі просто, модулі перемножуються, а фази складаються.
Розподіл
При розгляді операції ділення, як зворотною до операції множення, у показовій формі запису отримуємо просте вираження. Ділення значення z1 на z2 є результат ділення їх модулів і різниці фаз. Формально, при використанні показової форми комплексних чисел це виглядає так:
z = z1 / z2 = r1 × eiΘ1 / r2 × eiΘ2 = r1 / r2 × ei(Θ1-Θ2).
У вигляді алгебраїчної запису операція ділення чисел комплексній площині записується трохи складніше:
z = z1 / z2.
Розписуючи аргументи і проводячи перетворення многочленів, легко отримати значення х = x1 × x2 + y1 × y2, відповідно y = x2 × y1 – x1 × y2, щоправда, в межах описуваного простору цей вираз має сенс, якщо z2 ≠ 0.
Витягаємо корінь
Все вищеописане можна застосовувати при визначенні більш складних алгебраїчних функцій – зведення в будь-яку ступінь і зворотну до неї – витяг кореня.
Користуючись загальним поняттям зведення до степеня n, отримуємо визначення:
zn = (r × eiΘ)n.
Використовуючи загальні властивості, перепишемо у вигляді:
zn = rn × eiΘ n.
Отримали просту формулу зведення до степеня комплексного числа.
З визначення ступеня отримуємо дуже важливий наслідок. Парний степінь уявної одиниці завжди дорівнює 1. Будь-яка непарна степінь уявної одиниці завжди дорівнює -1.
Тепер вивчимо зворотну функцію – витяг кореня.
Для простоти запису приймемо n = 2. Квадратним коренем w комплексного значення z на комплексній площині C прийнято вважати вираз z = ±, справедливе для будь-якого дійсного аргументу більшого або рівного нулю. При w ≤ 0 рішення не існує.
Подивимося на найпростіше квадратне рівняння z2 = 1. Використовуючи формули комплексних чисел, перепишемо r2 × ei2Θ = r2 × ei2Θ = ei0 . Із запису видно, що r2 = 1, Θ = 0, отже, маємо єдине рішення, яке дорівнює 1. Але це суперечить поняттю, що z = -1, теж відповідає визначенню квадратного кореня.
Розберемося, що ми не враховуємо. Якщо згадаємо тригонометрическую запис, то відновимо твердження – при періодичному зміні фази Θ комплексне число не змінюється. Позначимо символом p значення періоду, тоді справедлива запис r2 × ei2Θ = ei(0+p), звідки 2Θ = 0 + p, або Θ = p / 2. Отже, справедливо ei0 = 1 і eip/2 = -1. Отримали друге рішення, що відповідає загальному розумінню квадратного кореня.
Отже, щоб знайти довільний корінь з комплексного числа, будемо діяти за процедурою.
- Запишемо показову форму w= ∣w∣ × ei(arg (w) + pk), k – довільне ціле число.
- Шукане число теж представимо у формі Ейлера z = r × eiΘ.
- Скористаємося загальним визначенням функції добування кореня rn*einΘ = ∣w∣ × ei(arg (w) + pk).
- Із загальних властивостей рівності модулів і аргументів, запишемо rn = ∣w∣ і nΘ = arg (w) + p×k.
- Підсумкова запис кореня з комплексного числа описується формулою z = √∣w∣ × ei (arg (w) + pk) / n.
- Зауваження. Значення ∣w∣, за визначенням, є позитивним речовим числом, отже, корінь будь-якого ступеня має сенс.
Поле і сполучення
На завершення дамо два важливі визначення, які надають мало значення для вирішення прикладних задач із комплексними числами, але істотні при подальшому розвитку математичної теорії.
Кажуть, що вирази додавання і множення утворюють поле, якщо задовольняють аксіомам для будь-яких елементів комплексної площини z:
Числа z1 = x + i×y і z 2 = x – i×y називаються спряженими.
Теорема. Для сполучення вірно твердження:
- Пару суми дорівнює сумі спряжених елементів.
- Пару добутку дорівнює добутку сполучень.
- Пару сполучення дорівнює самому числу.
У загальній алгебри такі властивості прийнято називати автоморфизмом поля.
Приклади
Дотримуючись наведених правилами і формулами комплексних чисел, легко можна ними оперувати.
Розглянемо найпростіші приклади.
Завдання 1. Використовуючи рівність 3y +5 x i= 15 – 7, визначити x і y.
Рішення. Згадаймо визначення комплексних рівностей, тоді 3y = 15, 5x = -7. Отже, x = -7 / 5, y = 5.
Завдання 2. Обчислити значення 2 + i28 і 1 + i135.
Рішення. Очевидно, 28 – парне число, слідства визначення комплексного числа в ступінь маємо i28 = 1, отже, вираз 2 + i28 = 3. Друге значення, i135 = -1, тоді 1 + i135 = 0.
Завдання 3. Обчислити добуток значень 2 + 5i і 4 + 3i.
Рішення. Із загальних властивостей множення комплексних чисел одержуємо (2 + 5i)Х( 4 + 3i) = 8 – 15 + i(6 + 20). Нове значення буде -7 + 26i.
Завдання 4. Обчислити корені рівняння z3 = -i.
Рішення. Варіантів, як знайти комплексне число, може бути кілька. Розглянемо один з можливих. За визначенням, ∣ – i∣ = 1, фаза-i дорівнює -р / 4. Вихідне рівняння можемо переписати у вигляді r3*ei3Θ = e-p/4+pk, звідки z = e-p / 12 + pk/3, для будь-якого цілого k.
Множина розв’язків має вигляд (e-ip/12, eip/4, ei2p/3).
Навіщо потрібні комплексні числа
Історія знає безліч прикладів, коли вчені, працюючи над теорією, навіть не замислюються про практичне застосування своїх результатів. Математика – це насамперед гра розуму, жорстке дотримання причинно-наслідкових зв’язків. Майже всі математичні побудови зводяться до розв’язання інтегральних і диференціальних рівнянь, а ті, у свою чергу, з деяким наближенням, вирішуються місцем знаходження коренів многочленів. Тут ми вперше зустрічаємося з парадоксом уявних чисел.
Учені-натуралісти, вирішуючи абсолютно практичні завдання, вдаючись до рішень різних рівнянням, виявляють математичні парадокси. Інтерпретація цих парадоксів призводить до абсолютно дивовижним відкриттям. Двоїста природа електромагнітних хвиль один з таких прикладів. Комплексні числа в розумінні їх властивостей відіграють вирішальну роль.
Це, в свою чергу, знайшло практичне застосування в оптиці, радіоелектроніці, енергетики та багатьох інших технологічних сферах. Ще один приклад, набагато більш важкий для розуміння фізичних явищ. Антиматерія була передбачена на кінчику пера. І тільки через багато років починаються спроби її фізичного синтезу.
Не треба думати, що тільки у фізиці існують такі ситуації. Не менш цікаві відкриття відбуваються в живій природі, при синтезуванні макромолекул, під час вивчення штучного розуму. І все це завдяки розширенню нашої свідомості, відходу від простого додавання і віднімання натуральних величин.
