Визначення операцій
Як вже зазначалося, на комплексні числа поширюються всі алгебраїчні закони роботи з основними математичними функціями.
Операція суми
При складанні комплексних значень їх реальна та уявна частини також складаються.
z = z1 + z2, де z1 і z2 – комплексні числа загального виду. Перетворюючи вираз, після розкриття дужок і спрощення запису, отримаємо реальний аргумент х=(x1 + x2), уявний аргумент y = (y1 + y2).
На графіку це виглядає як додавання двох векторів за відомим правилом паралелограма.
Операція віднімання
Розглядається як окремий випадок додавання, коли одне число позитивне, інше негативне, тобто знаходиться в дзеркальній чверті. Алгебраїчна запис виглядає як різниця реальних і уявних частин.
z = z1 – z2, або, враховуючи значення аргументів, аналогічно операції додавання, отримуємо для реальних значень х = (x1 – x2) і уявних y = (y1 – y2).
Множення на комплексній площині
Використовуючи правила роботи з многочленами, виведемо формулу для рішення комплексних чисел.
Слідуючи загальним алгебраїчним правилами z=z1×z2, розписуємо кожен аргумент і приводимо подібні. Реальну та уявну частини можна записати так:
- х = х1 × x2 – y1 × y2,
- y = x1 × y2 + x2 × y1.
Красивіше виглядає, якщо будемо використовувати показові комплексні числа.
Вираз виглядає так: z = z1 × z2 = r1 × eiΘ1 × r2 × eiΘ2 = r1 × r2 × ei(Θ1+Θ2).
Далі просто, модулі перемножуються, а фази складаються.
Розподіл
При розгляді операції ділення, як зворотною до операції множення, у показовій формі запису отримуємо просте вираження. Ділення значення z1 на z2 є результат ділення їх модулів і різниці фаз. Формально, при використанні показової форми комплексних чисел це виглядає так:
z = z1 / z2 = r1 × eiΘ1 / r2 × eiΘ2 = r1 / r2 × ei(Θ1-Θ2).
У вигляді алгебраїчної запису операція ділення чисел комплексній площині записується трохи складніше:
z = z1 / z2.
Розписуючи аргументи і проводячи перетворення многочленів, легко отримати значення х = x1 × x2 + y1 × y2, відповідно y = x2 × y1 – x1 × y2, щоправда, в межах описуваного простору цей вираз має сенс, якщо z2 ≠ 0.
