Витягаємо корінь
Все вищеописане можна застосовувати при визначенні більш складних алгебраїчних функцій – зведення в будь-яку ступінь і зворотну до неї – витяг кореня.
Користуючись загальним поняттям зведення до степеня n, отримуємо визначення:
zn = (r × eiΘ)n.
Використовуючи загальні властивості, перепишемо у вигляді:
zn = rn × eiΘ n.
Отримали просту формулу зведення до степеня комплексного числа.
З визначення ступеня отримуємо дуже важливий наслідок. Парний степінь уявної одиниці завжди дорівнює 1. Будь-яка непарна степінь уявної одиниці завжди дорівнює -1.
Тепер вивчимо зворотну функцію – витяг кореня.
Для простоти запису приймемо n = 2. Квадратним коренем w комплексного значення z на комплексній площині C прийнято вважати вираз z = ±, справедливе для будь-якого дійсного аргументу більшого або рівного нулю. При w ≤ 0 рішення не існує.
Подивимося на найпростіше квадратне рівняння z2 = 1. Використовуючи формули комплексних чисел, перепишемо r2 × ei2Θ = r2 × ei2Θ = ei0 . Із запису видно, що r2 = 1, Θ = 0, отже, маємо єдине рішення, яке дорівнює 1. Але це суперечить поняттю, що z = -1, теж відповідає визначенню квадратного кореня.
Розберемося, що ми не враховуємо. Якщо згадаємо тригонометрическую запис, то відновимо твердження – при періодичному зміні фази Θ комплексне число не змінюється. Позначимо символом p значення періоду, тоді справедлива запис r2 × ei2Θ = ei(0+p), звідки 2Θ = 0 + p, або Θ = p / 2. Отже, справедливо ei0 = 1 і eip/2 = -1. Отримали друге рішення, що відповідає загальному розумінню квадратного кореня.
Отже, щоб знайти довільний корінь з комплексного числа, будемо діяти за процедурою.
- Запишемо показову форму w= ∣w∣ × ei(arg (w) + pk), k – довільне ціле число.
- Шукане число теж представимо у формі Ейлера z = r × eiΘ.
- Скористаємося загальним визначенням функції добування кореня rn*einΘ = ∣w∣ × ei(arg (w) + pk).
- Із загальних властивостей рівності модулів і аргументів, запишемо rn = ∣w∣ і nΘ = arg (w) + p×k.
- Підсумкова запис кореня з комплексного числа описується формулою z = √∣w∣ × ei (arg (w) + pk) / n.
- Зауваження. Значення ∣w∣, за визначенням, є позитивним речовим числом, отже, корінь будь-якого ступеня має сенс.
