Основні поняття
Згадаймо ряд функцій, які мають обмеження на матеріальному множині:
- y = arcsin(x), визначена в інтервалі значень між негативною і позитивною одиницею.
- y = ln(x), десятковий логарифм має сенс при позитивних аргументів.
- квадратний корінь y = √x, розраховується тільки для x ≥ 0.
Позначенням i = √(-1), введемо таке поняття, як уявне число, це дозволить зняти всі обмеження з області визначення вищенаведених функцій. Вирази типу y = arcsin(2), y = ln(-4), y = √(-5) набувають сенсу в деякому просторі комплексних чисел.
Алгебраїчну форму можна записати у вигляді виразу z = x + i×y на множині дійсних значень x і y, а i2 = -1.
Нове поняття знімає всі обмеження на використання будь-алгебраїчні функції і своїм виглядом нагадує графік прямої в координатах дійсних і уявних значень.
Комплексна площина
Геометрична форма комплексних чисел дозволяє наочно уявити багато їх властивості. По осі Re(z) відзначаємо речові значення x, Im(z) – уявні величини y, тоді точка z на площині буде відображати потрібне комплексне значення.
Визначення:
- Re(z) – реальна вісь.
- Im(z) – означає уявну вісь.
- z – умовна точка комплексного числа.
- Чисельне значення довжини вектора від нульової точки до z, називається модулем.
- Реальна і уявна осі розбивають площину на чверті. При позитивному значенні координат – I чверть. При аргументі реальної осі менше 0, а уявної більше 0 – II чверть. Коли координати негативні – III чверть. Остання, IV чверть містить безліч позитивних реальних значень і негативних уявних величин.
Таким чином на площині зі значеннями координат x і y завжди можна наочно зобразити точку комплексного числа. Символ i вводиться для відділення реальної частини від уявної.
Властивості
