Модуль і фаза
Для завершення комплексного опису безлічі запропонуємо два важливих визначення.
Знаючи теорему Піфагора, легко обчислити довжину променя в полярній системі координат.
r = ∣z∣ = √(x2 + y2), така запис на комплексному просторі носить назву “модуль” і характеризує відстань від 0 до точки на площині.
Кут нахилу комплексного променя до дійсної прямої Θ прийнято називати фазою.
З визначення видно, що реальна та уявна частини описуються з допомогою циклічних функцій. А саме:
- x = r × cos(Θ);
- y = r × sin(Θ);
Назад, фаза має зв’язок з алгебраїчними значеннями через формулу:
Θ = arctan(x / y) + µ, поправка µ вводиться для обліку періодичності геометричних функцій.
Формула Ейлера
Математики часто вживають показову форму. Числа комплексній площині записують у вигляді виразу
z = r × e×Θ , яка випливає з формули Ейлера.
Така запис отримала широке поширення для практичного обчислення фізичних величин. Форма подання у вигляді показових комплексних чисел особливо зручна для інженерних розрахунків, де виникає необхідність розрахувати ланцюга з синусоїдальними струмами і необхідно знати значення інтегралів функцій з заданим періодом. Самі розрахунки служать інструментом при конструюванні різноманітних машин і механізмів.
