Приклад невизначеної системи
Варіант вирішення певної системи методом Гаусса розібраний, тепер необхідно розглянути випадок, якщо система невизначена, тобто для неї можна знайти нескінченно багато рішень.
х1 + х2 + х3 + х4 + х5 = 7 (1)
3х1 + 2х2 + х3 + х4 – 3х5 = -2 (2)
х2 + 2х3 + 2х4 + 6х5 = 23 (3)
5х1 + 4х2 + 3х3 + 3х4 – х5 = 12 (4)
Сам вигляд системи вже насторожує, тому що кількість невідомих n = 5, а ранг матриці системи вже точно менше цього числа, тому що кількість рядків m = 4, тобто найбільший порядок визначника-квадрата – 4. Значить, рішень існує нескінченна безліч, і треба шукати його загальний вигляд. Метод Гаусса для лінійних рівнянь дозволяє це зробити.
Спочатку, як зазвичай, складається розширена матриця.
Другий рядок: коефіцієнт k = (-a21/a11) = -3. У третьому рядку перший елемент – ще до перетворень, тому не треба нічого чіпати, треба залишити як є. Четвертий рядок: k = (-а41/а11) = -5
Помноживши елементи першого рядка на кожен їх коефіцієнтів по черзі і склавши їх з відповідними рядками, отримуємо матрицю такого вигляду:
Як можна бачити, друга, третя і четверта рядки складаються з елементів, пропорційні один одному. Друга і четверта взагалі однакові, тому одну з них можна видалити відразу, а решту помножити на коефіцієнт “-1” і отримати рядок номер 3. І знову з двох однакових рядків залишити одну.
Вийшла така матриця. Поки ще не записана система, тут потрібно визначити базисні змінні – стоять при коефіцієнтах a11 = 1 і a22 = 1, і вільні – всі інші.
У другому рівнянні є тільки одна базисна змінна x2. Значить, її можна виразити звідти, записавши через змінні x3, x4, x5, які є вільними.
Підставляємо отримане вираження в перше рівняння.
Вийшло рівняння, в якому єдина базисна змінна x1. Проробимо з нею те ж, що і з x2.
Всі базисні змінні, яких дві, виражені через три вільні, тепер можна записувати відповідь у загальному вигляді.
Також можна вказати одне з приватних рішень системи. Для таких випадків в якості значень вільних змінних вибирають, як правило, нулі. Тоді відповіддю буде:
-16, 23, 0, 0, 0.
