Коли немає рішень
Якщо в одного з матричних рядків всі елементи, крім вільного члена, дорівнюють нулю, то рівняння, відповідне цьому рядку, виглядає як 0 = b. Воно не має рішення. І оскільки таке рівняння укладена в систему, то і безліч рішень всієї системи – пусте, тобто вона є вырожденной.
Коли рішень нескінченну кількість
Може вийти так, що в наведеній трикутної матриці немає рядків з одним елементом-коефіцієнтом рівняння, і одним – вільним членом. Є тільки такі рядки, які при переписуванні мали б вигляд рівняння з двома або більше змінними. Значить, у системи є нескінченне число рішень. У такому разі відповідь можна дати у вигляді спільного рішення. Як це зробити?
Всі змінні в матриці поділяються на базисні та вільні. Базисні – це ті, які стоять “з краю” рядків у ступінчастої матриці. Решта – вільні. В загальному рішенні базисні змінні записуються через вільні.
Для зручності матриця спочатку переписується назад в систему рівнянь. Потім в останньому з них, там, де точно залишилася тільки одна базисна змінна, вона залишається з одного боку, а все інше переноситься в іншу. Так робиться для кожного рівняння з однієї базисної змінної. Потім в інші рівняння, там, де це можливо, замість базисної змінної підставляється отримане для неї вираз. Якщо в результаті знову з’явилося вираз, який містить тільки одну базисну змінну, вона звідти знову виражається, і так далі, поки кожна базисна змінна не буде записана у вигляді виразу з вільними змінними. Це і є загальний розв’язок СЛАР.
Можна також знайти базисне рішення системи – дати вільним змінним будь-які значення, а потім для цього конкретного випадку порахувати значення базисних змінних. Приватних рішень можна навести нескінченно багато.
