В загальному вигляді
Нехай існує система. Вона має m рівнянь і n коренів-невідомих. Записати її можна наступним чином:
З коефіцієнтів системи складається основна матриця. В розширену матрицю додається стовпець вільних членів і для зручності відділяється рисою.
Далі:
- перший рядок матриці множиться на коефіцієнт k = (-a21/a11);
- перша змінений рядок і другий рядок матриці складаються;
- замість другого рядка в матрицю вставляється результат додавання з попереднього пункту;
- тепер перший коефіцієнт у новій другий рядку дорівнює a11 × (-a21/a11) + a21 = -a21 + a21 = 0.
Тепер виконується та ж серія перетворень, тільки беруть участь перша і третя рядка. Відповідно, в кожному кроці алгоритму елемент a21 замінюється на a31. Потім все повторюється для a41, … am1. У результаті виходить матриця, де в рядках [2, m] перший елемент дорівнює нулю. Тепер треба забути про рядку номер один і виконати той же алгоритм, починаючи з другого рядка:
- коефіцієнт k = (-a32/a22);
- з “поточної” рядком складається друга змінений рядок;
- результат додавання підставляється в третю, четверту і так далі рядка, а перша і друга залишаються незмінними;
- у рядках [3, m] матриці вже два перших елемента дорівнюють нулю.
Алгоритм треба повторювати, поки не з’явиться коефіцієнт k = (-ам,m-1/amm). Це означає, що в останній раз алгоритм виконувався тільки для нижнього рівняння. Тепер матриця схожа на трикутник, або має ступінчасту форму. У нижній сходинці є рівність amn × xn = bm. Коефіцієнт і вільний член відомі, і корінь виражається через них: xn = bm/amn. Отриманий корінь підставляється у верхній рядок, щоб знайти xn-1 = (bm-1 – am-1,n×(bm/amn))÷am-1,n-1. І так далі по аналогії: в кожному наступному рядку знаходиться новий корінь, і, діставшись до “верху” системи, можна відшукати безліч рішень [x1, … xn]. Воно буде єдиним.
